Решите уравнения: 2*2^2x-3*2^x-2=0

Давайте решим уравнение $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0$.

1. Представление уравнения в удобной форме:

   Внимательно посмотрите на выражение $2 \cdot 2^{2x}$. Мы знаем, что $2^{2x} = (2^x)^2$, так что уравнение можно переписать следующим образом:

   $$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 2 = 0.$$

   Теперь представим $y = 2^x$. Это заменяет $2^x$ на $y$, и уравнение становится квадратичным:

   $$2 \cdot y^2 - 3 \cdot y - 2 = 0.$$

2. Решение квадратного уравнения:

   Для того чтобы решить квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac,$$

   где $a = 2$, $b = -3$, и $c = -2$. Подставим эти значения:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.$$

   Так как дискриминант положительный, у нас два корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

   Подставим значения:

   $$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}.$$

   Таким образом, два корня:

   $$y_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2,$$ $$y_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.$$

3. Возврат к переменной $x$:

   Напомним, что $y = 2^x$, поэтому мы решим два уравнения:

   • $2^x = 2$

   • $2^x = -\frac{1}{2}$

   Для первого уравнения $2^x = 2$ получаем:

   $$x = 1.$$

   Для второго уравнения $2^x = -\frac{1}{2}$ нет решения, так как экспоненциальная функция $2^x$ всегда положительна, и не может равняться отрицательному числу.

4. Ответ:

   Единственное решение уравнения $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0$ — это $x = 1$.