Решите неравенство 2/(3х-1)^2-3\3х-1+1 большеравно 0

Ответы на вопрос

Отвечает Кокорев Денис.

Решим неравенство:

\frac{2}{(3x - 1)^2} - \frac{3}{3x - 1} + 1 \geq 0

Шаг 1. Обозначим замену для упрощения

Для удобства сделаем замену:

y = 3x - 1

Тогда неравенство примет вид:

\frac{2}{y^2} - \frac{3}{y} + 1 \geq 0

Шаг 2. Приведем к общему знаменателю

Теперь попробуем привести все элементы к общему знаменателю. Для этого найдем общий знаменатель для выражений $\frac{2}{y^2}$ , $-\frac{3}{y}$ и $1$ . Общий знаменатель — это $y^2$ .

Запишем выражение с этим знаменателем:

\frac{2}{y^2} - \frac{3}{y} + 1 = \frac{2}{y^2} - \frac{3y}{y^2} + \frac{y^2}{y^2}

Теперь все элементы имеют одинаковый знаменатель:

\frac{2 - 3y + y^2}{y^2}

Шаг 3. Упростим числитель

Приводим числитель:

y^2 - 3y + 2

Итак, неравенство стало:

\frac{y^2 - 3y + 2}{y^2} \geq 0

Шаг 4. Найдем корни числителя

Чтобы понять, когда числитель $y^2 - 3y + 2$ равен нулю, найдем его корни. Для этого решим квадратное уравнение:

y^2 - 3y + 2 = 0

Корни этого уравнения находим по формуле дискриминанта:

D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1

Корни уравнения:

y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}

Получаем два корня:

y = 2 \quad \text{и} \quad y = 1

Шаг 5. Анализируем знаки выражения

Теперь нужно понять, когда выражение $\frac{y^2 - 3y + 2}{y^2}$ больше или равно нулю. Рассмотрим знаки числителя и знаменателя на разных интервалах для $y$ .

$y^2$ всегда положительно, за исключением $y = 0$ .
Числитель $y^2 - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2)$ .

Преобразуем неравенство:

\frac{(y - 1)(y - 2)}{y^2} \geq 0

Теперь исследуем знак выражения на интервалах: $y < 0$ , $0 < y < 1$ , $1 < y < 2$ , и $y > 2$ .

$y < 0$ : и числитель, и знаменатель отрицательны, значит, выражение положительное.
$0 < y < 1$ : числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит, выражение отрицательное.
$1 < y < 2$ : числитель положителен, знаменатель положителен, значит, выражение положительное.
$y > 2$ : и числитель, и знаменатель положительны, значит, выражение положительное.

Шаг 6. Рассматриваем важные моменты

Для того чтобы выражение было больше или равно нулю, числитель должен быть либо положительным, либо равным нулю. Это выполняется, когда:

y \in (-\infty, 0) \cup [1, 2] \cup (2, \infty)

Похожие вопросы

Последние заданные вопросы в категории Математика