РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ: x^2(x-9)=2(9-x)

Для того чтобы решить уравнение $x^2(x - 9) = 2(9 - x)$, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Распишем уравнение:

   $$x^2(x - 9) = 2(9 - x)$$

   Сначала раскроем скобки с обеих сторон.

   Левая часть:

   $$x^2(x - 9) = x^3 - 9x^2$$

   Правая часть:

   $$2(9 - x) = 18 - 2x$$

   Теперь у нас есть уравнение:

   $$x^3 - 9x^2 = 18 - 2x$$

2. Переносим все на одну сторону уравнения:

   Переносим все термины в левую часть, чтобы уравнение стало равным 0:

   $$x^3 - 9x^2 + 2x - 18 = 0$$

3. Пробуем найти корни с помощью подбора:

   Один из способов решения кубического уравнения — это попытаться найти хотя бы один корень с помощью подбора. Проверим несколько целых чисел, например, $x = 2$.

   Подставим $x = 2$ в уравнение:

   $$2^3 - 9 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 18 = 8 - 36 + 4 - 18 = 0$$

   Видим, что $x = 2$ — корень уравнения.

4. Разделим на $x - 2$:

   Теперь, зная, что $x = 2$ — корень, можно разделить полином $x^3 - 9x^2 + 2x - 18$ на $x - 2$ с помощью деления многочленов.

   При делении мы получим:

   $$x^3 - 9x^2 + 2x - 18 = (x - 2)(x^2 - 7x + 9)$$

5. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 9 = 0$. Для этого используем дискриминант:

   $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два вещественных корня. Находим их по формуле:

   $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$$

   Таким образом, корни квадратного уравнения:

   $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$$

6. Ответ:

   Все корни уравнения $x^3 - 9x^2 + 2x - 18 = 0$ — это:

   $$x = 2, \quad x = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}, \quad x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$$