2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0. Решить уравнение.

Конечно! Давайте подробно решим уравнение:

2x³ - x² - 2x + 1 = 0

Это кубическое уравнение. Чтобы решить его, сначала попробуем найти хотя бы один рациональный корень, используя метод рациональных корней или подбором.

Шаг 1: Пробуем рациональные корни

По теореме рациональных корней, возможные рациональные корни — это дроби вида ±(делители свободного члена)/(делители старшего коэффициента).

У нас:

• свободный член = +1 → делители: ±1

• старший коэффициент = 2 → делители: ±1, ±2

Возможные рациональные корни:
±1, ±1/2

Пробуем их по очереди:

• x = 1
  2(1)³ - (1)² - 2(1) + 1 = 2 - 1 - 2 + 1 = 0 → Подходит!
  Значит, x = 1 — корень.

Шаг 2: Делим многочлен на (x - 1)

Теперь разложим многочлен на множители, зная, что (x - 1) — один из них. Делим многочлен:

2x³ - x² - 2x + 1 на (x - 1)

Можно использовать схему Горнера или столбик. Разложим вручную:

Разделим многочлен на (x - 1):

Итак, мы получили:

2x³ - x² - 2x + 1 = (x - 1)(2x² + x - 1)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Решим 2x² + x - 1 = 0 по формуле:

где a = 2, b = 1, c = -1

Получаем два корня:

• $x = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

• $x = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ:

Уравнение имеет три корня:

Хочешь, я покажу это решение в виде схемы или графика?