x^3 = 1. Сколько решений?

Уравнение $x^3 = 1$ имеет три комплексных корня. Давайте разберёмся подробнее.

1. Решение в вещественных числах

Сначала рассмотрим вещественные числа. Здесь легко увидеть, что $x = 1$ — это одно решение, так как:

2. Комплексные корни

Но уравнение $x^3 = 1$ — это уравнение степени 3, а значит, по основной теореме алгебры у него должно быть ровно три комплексных корня (с учётом кратности).

Чтобы найти все корни, перепишем уравнение как:

Это разность кубов:

Решаем:

1. $x - 1 = 0$ → $x = 1$

2. $x^2 + x + 1 = 0$

Второе уравнение — квадратное. Найдём корни по формуле:

То есть, два комплексных корня:

Эти числа называются комплексными кубическими корнями из единицы.

Ответ:

У уравнения $x^3 = 1$ три решения в комплексных числах:

• $x = 1$

• $x = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$

• $x = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$