Уравнение движения материальной точки имеет вид \( x = 0.4 t^2 \). Найти скорость в общем виде (формулы) и вычислить путь, пройденный точкой за 4 с.

Дано: $x(t)=0{,}4\,t^{2}$ (в СИ: $x$ — м, $t$ — с).

1) Скорость (в общем виде и для данной функции).
Мгновенная скорость — это производная координаты по времени:

Для $x(t)=0{,}4t^{2}$:

Замечание: ускорение постоянно $a=\frac{dv}{dt}=0{,}8\ \text{м/с}^2$.

2) Путь за $4$ с.
Путь за интервал времени — это интеграл от модуля скорости:

Здесь $v(t)=0{,}8t\ge0$ при $t\ge0$, поэтому модуль можно не писать:

(То же самое видно и по координате: $x(4)-x(0)=0{,}4\cdot16-0=6{,}4$ м.)

Ответ: $v(t)=0{,}8t$ (м/с), путь за 4 с — $6{,}4$ м.