Всегда ли при изменении потока магнитной индукции в проводящем контуре возникает ЭДС индукции?

Короткий ответ: в замкнутом проводящем контуре — да.
По закону Фарадея–Максвелла электродвижущая сила равна скорости изменения магнитного потока через контур:

Если поток $\Phi$ действительно меняется, то циркуляция электрического поля (а значит и ЭДС) ненулевая. Направление определяется правилом Ленца: наведённые токи препятствуют причине, вызывающей изменение потока.

Нюансы, из-за которых путаются:

• Ток ≠ ЭДС. При разомкнутом контуре ток может не течь, но ЭДС как циркуляция поля существует (между концами появится индуцированная разность потенциалов/напряжение).

• Два механизма одной и той же ЭДС. Поток может меняться либо из-за $\partial \mathbf{B}/\partial t$ при неподвижном контуре (трансформаторная ЭДС), либо из-за движения/деформации проводника в магнитном поле (двигательная ЭДС, связана с силой Лоренца $q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$). Обобщённая форма закона учитывает оба эффекта, так что при изменении потока суммарная ЭДС всё равно возникает.

• Идеально проводящие/сверхпроводящие контуры. При попытке изменить поток в таком контуре возникают экранирующие токи, которые «удерживают» поток почти постоянным. На этапе наведения кратковременная ЭДС всё равно появляется, после чего ток поддерживается без потерь.

Итого: если контур замкнут и магнитный поток через него реально изменяется физически (а не “на бумаге” из-за выбора поверхности), ЭДС индукции возникает всегда.