Лёша делает холодный чай. Для этого в стакан чая объёмом 150 мл и температурой 20 ^{\circ}С ∘
С он кладёт 3 кубика льда массой 10 г каждый и температурой 0 ^{\circ}C
∘
C . Какая температура установится в стакане, когда лёд растает?

Для решения задачи на установление температуры смеси воды и льда, когда лёд полностью растает, нужно воспользоваться законом сохранения тепла. В данном случае тепло от чая будет передаваться льду до тех пор, пока не установится равновесная температура смеси. Процесс включает несколько этапов: таяние льда и нагрев получившейся воды от льда до конечной температуры смеси.

Дано:

1. Объём чая $V = 150$ мл (принимаем плотность воды 1 г/мл, поэтому масса $m_1 = 150$ г).
2. Температура чая $t_1 = 20^{\circ}C$.
3. Лёд: 3 кубика по 10 г каждый, общая масса льда $m_2 = 30$ г.
4. Температура льда $t_2 = 0^{\circ}C$.

Необходимые тепловые данные:

1. Удельная теплоёмкость воды $c_{\text{в}} = 4.2 \ \text{Дж/(г}\cdot\text{°C)}$.
2. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 334 \ \text{Дж/г}$.

Решение

1. Определяем тепло, которое нужно для полного таяния льда:

   $$Q_{\text{таяния}} = m_2 \cdot \lambda = 30 \cdot 334 = 10020 \ \text{Дж}$$

2. Определяем тепло, которое чай может отдать при охлаждении до $0^{\circ}C$:

   $$Q_{\text{чая}} = m_1 \cdot c_{\text{в}} \cdot (t_1 - 0) = 150 \cdot 4.2 \cdot (20 - 0) = 12600 \ \text{Дж}$$

3. Анализируем, хватит ли тепла от чая для полного таяния льда:

   Поскольку $Q_{\text{чая}} = 12600 \ \text{Дж} > Q_{\text{таяния}} = 10020 \ \text{Дж}$, тепла от чая достаточно, чтобы растопить весь лёд.

4. Определяем остаток тепла, который пойдёт на нагрев талой воды:

   $$Q_{\text{остаток}} = Q_{\text{чая}} - Q_{\text{таяния}} = 12600 - 10020 = 2580 \ \text{Дж}$$

5. Находим конечную температуру смеси $t$, используя оставшееся тепло для нагрева общей массы воды (150 г чая + 30 г талой воды = 180 г):

   $$Q_{\text{остаток}} = (m_1 + m_2) \cdot c_{\text{в}} \cdot t$$

   Подставляем известные значения:

   $$2580 = 180 \cdot 4.2 \cdot t$$ $$t = \frac{2580}{180 \cdot 4.2} = \frac{2580}{756} \approx 3.41^{\circ}C$$

Ответ:

После полного таяния льда и установления теплового равновесия температура смеси в стакане будет приблизительно $3.4^{\circ}C$.