Установить зависимость периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины.

Ответы на вопрос

Отвечает Филатова Анастасия.

Чтобы установить зависимость периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины, рассматривают массу $m$ , прикреплённую к пружине с жёсткостью $k$ , и изучают её малые колебания около положения равновесия.

1) Уравнение движения

Сила упругости по закону Гука:

F_{\text{упр}} = -kx

где $x$ — смещение от положения равновесия (знак «минус» означает, что сила направлена к равновесию).

По второму закону Ньютона:

m\ddot{x} = -kx

Переносим всё в одну сторону:

\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0

Это уравнение гармонического осциллятора.

2) Связь с циклической частотой

Стандартный вид уравнения гармонических колебаний:

\ddot{x} + \omega^2 x = 0

Сравнивая с $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$ , получаем:

\omega^2 = \frac{k}{m} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

3) Период колебаний

Период связан с циклической частотой:

T = \frac{2\pi}{\omega}

Подставляем $\omega$ :

T = \frac{2\pi}{\sqrt{k/m}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

4) Искомая зависимость периода от жёсткости

При фиксированной массе $m$ :

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \quad \Rightarrow \quad T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}

То есть период обратно пропорционален квадратному корню из жёсткости пружины:

если увеличить жёсткость в $n$ раз ( $k \to nk$ ), то
$T \to \frac{T}{\sqrt{n}}$
например, при $k$ в 4 раза больше период станет в 2 раза меньше.

5) Вывод

Зависимость периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины задаётся формулой:

\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}

а при постоянной массе:

\boxed{T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}}