Во сколько раз период колебаний математического маятника на некоторой планете больше, чем на Земле, если радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли, а плотности одинаковы?

Чтобы понять, во сколько раз период колебаний математического маятника на другой планете отличается от периода колебаний на Земле, начнем с формулы периода математического маятника:

где $T$ — период колебаний, $L$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

1. Вывод зависимости $g$ от плотности и радиуса планеты

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты выражается через гравитационную постоянную $G$, массу планеты $M$ и её радиус $R$:

Поскольку масса планеты $M$ может быть выражена через плотность $\rho$ и объем (а объем сферы пропорционален $R^3$), то:

Подставим это выражение для $M$ в формулу для $g$:

Таким образом, ускорение свободного падения $g$ пропорционально радиусу планеты $R$ и плотности $\rho$:

2. Сравнение значений $g$ на Земле и на другой планете

На Земле радиус $R$ равен $R_{\text{Земля}}$. На другой планете радиус $R_{\text{планета}}$ вдвое меньше, то есть:

Плотности планеты и Земли одинаковы ($\rho_{\text{планета}} = \rho_{\text{Земля}}$), значит, ускорение свободного падения на этой планете будет:

Таким образом, $g$ на этой планете вдвое меньше, чем на Земле.

3. Определение отношения периодов

Теперь найдем отношение периодов колебаний маятника на Земле и на другой планете. Так как $T \sim \frac{1}{\sqrt{g}}$, то:

Подставляем полученное соотношение $g_{\text{планета}} = \frac{g_{\text{Земля}}}{2}$:

Ответ

Период колебаний математического маятника на планете, радиус которой вдвое меньше радиуса Земли при одинаковой плотности, будет в $\sqrt{2}$