Мальчик на коньках разгоняется до скорости 11 м/с и по склону поднимается на ледяную горку. До какой высоты он сможет подняться, если коэффициент трения равен 0,1, а угол наклона горки к горизонту равен 45°?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно использовать закон сохранения энергии и учитывать потери энергии на трение. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Определение начальной энергии

Когда мальчик разгоняется до скорости 11 м/с на ровной поверхности, его начальная энергия — это кинетическая энергия:

где:

• $m$ — масса мальчика,
• $v$ — скорость (11 м/с).

Однако массу мальчика можно исключить из расчётов, так как она будет присутствовать и в других частях уравнений.

2. Энергия на горке

Когда мальчик поднимется на горку, его кинетическая энергия начнёт превращаться в потенциальную энергию. Также, в процессе подъема будет работать сила трения, которая будет убирать часть энергии.

Потенциальная энергия на высоте $h$ равна:

где:

• $m$ — масса мальчика,
• $g$ — ускорение свободного падения (9.8 м/с²),
• $h$ — высота, на которую мальчик поднимется.

3. Работа силы трения

Сила трения будет действовать против движения и отнимать часть энергии. Сила трения $F_{\text{тр}}$ определяется как:

где:

• $\mu = 0.1$ — коэффициент трения,
• $N = mg \cos(\alpha)$ — нормальная сила, где $\alpha = 45^\circ$ — угол наклона горки.

Таким образом, сила трения будет равна:

Работа силы трения $A_{\text{тр}}$ при подъёме на высоту $h$ равна:

где $d$ — длина пути, по которому поднимется мальчик. Связь длины пути $d$ и высоты $h$ на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ можно выразить через гипотенузу треугольника:

Подставляем это в выражение для работы силы трения:

4. Закон сохранения энергии

В начальный момент вся энергия мальчика — это его кинетическая энергия:

Когда он поднимется на горку, эта энергия будет перераспределяться на потенциальную энергию и работу трения:

Упростим это выражение, разделив обе части на $m$ и подставив значения:

Подставляем $v = 11$ м/с, $g = 9.8$ м/с², $\mu = 0.1$, и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

Упростим это: