При перенесении математического маятника с Земли на другую планету период его колебаний увеличился в 2 раза. Во сколько раз масса Земли больше массы планеты, если радиус Земли в 3 раза больше радиуса планеты?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно рассчитать зависимость периода колебаний математического маятника от различных факторов, таких как масса планеты и радиус планеты, а также использовать информацию о том, как период изменился при переносе маятника на другую планету.

Шаг 1. Формула для периода колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника $T$ на планете зависит от ускорения свободного падения $g$ на этой планете, и его выражение выглядит так:

где:

• $T$ — период колебаний,
• $l$ — длина маятника (предположим, что она на обеих планетах одинакова),
• $g$ — ускорение свободного падения на планете.

Ускорение свободного падения на планете можно выразить через её массу $M$ и радиус $R$ с использованием закона всемирного тяготения:

где:

• $G$ — гравитационная постоянная,
• $M$ — масса планеты,
• $R$ — радиус планеты.

Шаг 2. Изменение периода при переносе маятника

Дано, что при переносе маятника с Земли на другую планету его период увеличился в 2 раза. То есть:

Теперь выразим эти периоды через ускорения свободного падения на Земле и на планете. На Земле ускорение свободного падения $g_{\text{Земля}} = \frac{GM_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2}$, а на планете $g_{\text{планета}} = \frac{GM_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2}$.

Используя формулу для периода колебаний, получаем:

Так как $T_{\text{планета}} = 2 \cdot T_{\text{Земля}}$, имеем:

Сокращаем $2\pi$ и $l$:

Возводим обе стороны в квадрат:

Таким образом, ускорение свободного падения на планете:

Шаг 3. Связь между массой и радиусом планеты

Из выражения для ускорения свободного падения на планете:

Подставим полученную зависимость $g_{\text{планета}} = \frac{g_{\text{Земля}}}{4}$ и выразим массу планеты через массу Земли. Ускорение свободного падения на Земле: