На какой высоте площадь поперечного
сечения струи фонтана будет в 5 раз больше площади выходного отверстия трубки? Скорость воды в выходном отверстии 10м/с

Для решения этой задачи используем принцип сохранения массы (или уравнение непрерывности потока жидкости). Этот принцип гласит, что поток жидкости в любой точке должен оставаться постоянным, если только не происходит добавления или убытка жидкости. В данном контексте это означает, что масса воды, проходящая через поперечное сечение в какой-либо точке струи фонтана, должна быть равна массе воды, проходящей через выходное отверстие трубки.

Дано:

• Скорость воды на выходе из трубки: $v_0 = 10 \ \text{м/с}$
• Площадь поперечного сечения на выходе трубки: $A_0$
• Площадь поперечного сечения струи фонтана на высоте $h$: $A_h$
• Требуется, чтобы площадь поперечного сечения струи фонтана была в 5 раз больше площади выходного отверстия, то есть $A_h = 5 \cdot A_0$.

Уравнение непрерывности потока:

Площадь поперечного сечения и скорость воды взаимосвязаны через уравнение непрерывности. Для любого сечения жидкости справедливо:

где:

• $A_0$ — площадь выходного сечения трубки,
• $v_0$ — скорость воды на выходе,
• $A_h$ — площадь поперечного сечения на высоте $h$,
• $v_h$ — скорость воды на высоте $h$.

Разрешим относительно скорости $v_h$:

Так как $A_h = 5 \cdot A_0$, то:

Это означает, что скорость воды на высоте, где площадь поперечного сечения струи будет в 5 раз больше, чем на выходе из трубки, составит $v_h = \frac{10}{5} = 2 \ \text{м/с}$.

Теперь определим высоту, на которой это происходит.

Мы знаем, что вода, вытекающая из трубки, имеет начальную скорость $v_0 = 10 \ \text{м/с}$, и под действием силы тяжести её скорость постепенно уменьшается, а высота увеличивается. Мы можем использовать уравнение для скорости свободного падения, которое связывает скорость потока с высотой подъема:

где:

• $v_h = 2 \ \text{м/с}$ — скорость на высоте $h$,
• $v_0 = 10 \ \text{м/с}$ — начальная скорость,
• $g \approx 9.8 \ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения,
• $h$ — высота, на которой скорость воды достигает $2 \ \text{м/с}$.

Подставим значения:

Решим относительно $h$:

Ответ:

Высота, на которой площадь поперечного сечения струи будет в 5 раз больше площади выходного отверстия трубки, составляет примерно 4.9 метра.