Атлет раскручивает молот (шар массой m = 7 кг, привязанный к тросу) так, что шар движется по окружности радиусом R = 1 м, а путь, пройденный шаром во время раскрутки, растет в соответствии с уравнением s = Bt+Ct2, где B = 4 м/с; C = 2 м/с2. Трос выдерживает нагрузку Fп = 14 кН. Какой запас прочности имеет трос в момент броска молота, если продолжительность раскрутки t = 4 с?

Чтобы найти запас прочности троса в момент броска молота, выполним пошаговый анализ задачи.

Дано:

1. Масса шара: $m = 7 \, \text{кг}$,
2. Радиус окружности: $R = 1 \, \text{м}$,
3. Путь зависит от времени: $s = Bt + Ct^2$,
   • $B = 4 \, \text{м/с}$,
   • $C = 2 \, \text{м/с}^2$,
4. Продолжительность раскрутки: $t = 4 \, \text{с}$,
5. Прочность троса: $F_{\text{п}} = 14 \, \text{кН} = 14000 \, \text{Н}$.

Требуется:

Найти запас прочности троса.

Решение:

1. Скорость шара в момент времени $t = 4 \, \text{с}$:

   Путь $s$ задаётся уравнением:

   $$s = Bt + Ct^2$$

   Скорость $v$ – это производная пути $s$ по времени $t$:

   $$v = \frac{ds}{dt} = B + 2Ct$$

   Подставим значения $B$, $C$ и $t$:

   $$v = 4 + 2 \cdot 2 \cdot 4$$ $$v = 4 + 16 = 20 \, \text{м/с}.$$

   Итак, линейная скорость шара в момент броска: $v = 20 \, \text{м/с}$.

2. Центростремительное ускорение:

   Центростремительное ускорение $a_c$ при движении по окружности радиусом $R$ вычисляется по формуле:

   $$a_c = \frac{v^2}{R}.$$

   Подставим значения $v = 20 \, \text{м/с}$ и $R = 1 \, \text{м}$:

   $$a_c = \frac{20^2}{1} = 400 \, \text{м/с}^2.$$

3. Центростремительная сила:

   Центростремительная сила $F_c$, создаваемая при движении шара, определяется как:

   $$F_c = m \cdot a_c.$$

   Подставим значения $m = 7 \, \text{кг}$ и $a_c = 400 \, \text{м/с}^2$:

   $$F_c = 7 \cdot 400 = 2800 \, \text{Н}.$$

4. Запас прочности троса:

   Запас прочности определяется как отношение максимальной силы, которую выдерживает трос ($F_{\text{п}}$), к фактической силе ($F_c$):

   $$n = \frac{F_{\text{п}}}{F_c}.$$

   Подставим значения $F_{\text{п}} = 14000 \, \text{Н}$ и $F_c = 2800 \, \text{Н}$:

   $$n = \frac{14000}{2800} = 5.$$

Ответ:

Запас прочности троса в момент броска молота составляет $5$ (пятикратный запас).