По прямолинейной автостраде движутся равномерно в противоположных направлениях автобус и мотоциклист. В начальный момент времен а координаты автобуса и мотоциклиста соответственно. равны 500 и -300 м, а скорости движения 72 и 36 км/ч. Напишите уравнения движения х= x(t) автобуса и мотоциклиста. Определите их положение через 5 с. В какой момент времени и где они встретятся? Каким будет расстояние между ними через 1.5 мин после начала движения? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи по механике

Дано:

1. Автобус:

   • Начальная координата $x_{a0} = 500 \, \text{м}$
   • Скорость $v_a = 72 \, \text{км/ч} = 20 \, \text{м/с}$ (переводим в м/с: $72 \cdot \frac{1000}{3600} = 20 \, \text{м/с}$)
   • Движется в положительном направлении оси $x$.

2. Мотоциклист:

   • Начальная координата $x_{m0} = -300 \, \text{м}$
   • Скорость $v_m = 36 \, \text{км/ч} = 10 \, \text{м/с}$ (переводим в м/с: $36 \cdot \frac{1000}{3600} = 10 \, \text{м/с}$)
   • Движется в отрицательном направлении оси $x$.

Уравнения движения:

Поскольку оба движутся равномерно, уравнение движения имеет вид:

• Для автобуса: $x_a(t) = 500 + 20t$, где $t$ — время в секундах.
• Для мотоциклиста: $x_m(t) = -300 - 10t$ (скорость отрицательная, так как он движется в противоположном направлении).

Определим положение автобуса и мотоциклиста через 5 секунд

1. Для автобуса:

2. Для мотоциклиста:

Ответ: через 5 секунд автобус будет находиться в точке $x = 600 \, \text{м}$, а мотоциклист — в точке $x = -350 \, \text{м}$.

Найдём момент времени и место встречи

Для встречи их координаты должны совпадать:

Подставляем уравнения движения:

Решаем относительно $t$:

Теперь найдём координату встречи. Подставим $t = 26.67 \, \text{с}$ в уравнение движения автобуса:

Ответ: Автобус и мотоциклист встретятся через 26.67 секунд в точке $x \approx 1033.33 \, \text{м}$.

Найдём расстояние между ними через 1.5 минуты

1. Переводим время в секунды: $1.5 \, \text{мин} = 90 \, \text{с}$.

2. Координаты автобуса и мотоциклиста через 90 секунд:

   • Автобус:
   $$x_a(90) = 500 + 20 \cdot 90 = 500 + 1800 = 2300 \, \text{м}.$$
   • Мотоциклист:
   $$x_m(90) = -300 - 10 \cdot 90 = -300 - 900 = -1200 \, \text{м}.$$

3. Расстояние между ними:

Ответ: через 1.5 минуты расстояние между автобусом и мотоциклистом будет $3500 \, \text{м}$.

Рассмотрение всех возможных случаев:

• Если они движутся в противоположных направлениях с равномерными скоростями, встреча обязательно произойдёт, если их скорости не равны нулю.
• После встречи расстояние между ними будет увеличиваться линейно со временем, поскольку они продолжают двигаться в противоположных направлениях.

Итоговые ответы:

1. Уравнения движения:
   • Автобус: $x_a(t) = 500 + 20t$
   • Мотоциклист: $x_m(t) = -300 - 10t$
2. Через 5 секунд:
   • Автобус: $x = 600 \, \text{м}$
   • Мотоциклист: $x = -350 \, \text{м}$
3. Время и место встречи:
   • $t \approx 26.67 \, \text{с}$, $x \approx 1033.33 \, \text{м}$.
4. Расстояние через 1.5 минуты:
   • $d = 3500 \, \text{м}$.