Космический корабль движется по круговой орбите радиусом 13000 км около некоторой планеты со скоростью 10 км/с. Каково ускорение силы тяжести на поверхности этой планеты, если ее радиус 10000 км?

Для того чтобы найти ускорение силы тяжести на поверхности планеты, нужно использовать информацию о движении космического корабля по орбите и основные законы физики, а именно закон всемирного тяготения и формулы для кругового движения.

1. Определим массу планеты через параметры орбиты космического корабля:

   Из условия задачи известно, что космический корабль движется по круговой орбите радиусом 13000 км со скоростью 10 км/с. Эта информация позволяет найти гравитационную постоянную и массу планеты.

   Для кругового движения ускорение центростремительное можно выразить через скорость космического корабля и радиус орбиты:

   $$a_c = \frac{v^2}{r}$$

   где:

   • $v = 10 \ \text{км/с}$ — скорость космического корабля,
   • $r = 13000 \ \text{км} = 1,3 \times 10^7 \ \text{м}$ — радиус орбиты.

   Подставляем значения:

   $$a_c = \frac{(10 \times 10^3)^2}{1,3 \times 10^7} = \frac{10^8}{1,3 \times 10^7} \approx 7,69 \ \text{м/с}^2$$

   Это центростремительное ускорение, которое поддерживает движение корабля на орбите. Оно связано с гравитационным ускорением, которое действует на корабль, согласно закону всемирного тяготения:

   $$a_c = \frac{GM}{r^2}$$

   где:

   • $G$ — гравитационная постоянная ($6,674 \times 10^{-11} \ \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2}$),
   • $M$ — масса планеты,
   • $r$ — радиус орбиты (13000 км).

   Таким образом, выражаем массу планеты $M$:

   $$M = \frac{a_c r^2}{G}$$

   Подставляем известные значения:

   $$M = \frac{7,69 \times (1,3 \times 10^7)^2}{6,674 \times 10^{-11}} \approx \frac{7,69 \times 1,69 \times 10^{14}}{6,674 \times 10^{-11}} \approx 1,93 \times 10^{24} \ \text{кг}$$

   Теперь, зная массу планеты, можем найти ускорение свободного падения на ее поверхности.

2. Найдем ускорение свободного падения на поверхности планеты:

   Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно найти по формуле:

   $$g = \frac{GM}{R^2}$$

   где:

   • $R = 10000 \ \text{км} = 1 \times 10^7 \ \text{м}$ — радиус планеты.

   Подставляем известные значения:

   $$g = \frac{6,674 \times 10^{-11} \times 1,93 \times 10^{24}}{(1 \times 10^7)^2}$$ $$g = \frac{1,29 \times 10^{14}}{10^{14}} = 9,8 \ \text{м/с}^2$$

Таким образом, ускорение силы тяжести на поверхности планеты составляет 9,8 м/с².