Луч света падает на границу раздела алмаза и стекла под углом 20 градусов. Каким должно быть отношение толщин этих веществ, чтобы время распространения света в них было одинаковым? Абсолютные показатели преломления алмаза - 2,42 и стекла - 1,5.

Для того чтобы время распространения света в алмазе и стекле было одинаковым, нужно учитывать, что свет распространяется в различных средах с разной скоростью, что зависит от показателя преломления вещества.

Шаг 1: Понимание времени прохождения света

Время распространения света в веществе зависит от расстояния, которое свет проходит, и его скорости в этом веществе. Скорость света в веществе можно выразить через показатель преломления $n$ и скорость света в вакууме $c$ по формуле:

где:

• $v$ — скорость света в веществе,
• $c$ — скорость света в вакууме (приблизительно $3 \times 10^8 \, \text{м/с}$),
• $n$ — показатель преломления вещества.

Время $t$, которое свет тратит на прохождение расстояния $d$ в веществе, можно выразить как:

Шаг 2: Условия задачи

Задача ставит условие, что время распространения света в двух веществах — алмазе и стекле — должно быть одинаковым. То есть:

Поскольку время зависит от расстояния и показателя преломления, можно записать:

Скорости света в этих веществах будут разные, так как показатели преломления у них разные. Теперь, нужно учесть, что граница раздела между двумя средами наклонена под углом 20° относительно нормали. Это повлияет на длину пути света в каждом из веществ.

Шаг 3: Учет угла падения

Свет падает на границу раздела под углом 20°. Этот угол влияет на путь света внутри каждого из веществ. Согласно закону преломления (закону Снеллиуса), угол преломления $\theta_2$ в стекле будет определяться следующим образом:

где:

• $\theta_1 = 20^\circ$ — угол падения в алмазе,
• $n_{\text{алмаз}} = 2.42$ — показатель преломления алмаза,
• $n_{\text{стекло}} = 1.5$ — показатель преломления стекла.

Из этой формулы можно найти угол преломления в стекле $\theta_2$, но для этой задачи важнее другое: путь света в каждом веществе.

Шаг 4: Длина пути в каждом веществе

Свет будет двигаться по наклонной траектории, и путь в каждом веществе можно выразить через толщину $d$ и угол. Длину пути можно выразить как:

где $\theta$ — угол, под которым свет проходит через среду.

Таким образом, для каждого вещества эффективная длина пути будет зависеть от угла, под которым свет распространяется через среду. Чтобы время распространения было одинаковым в обоих веществах, необходимо, чтобы отношение толщин веществ было пропорционально разнице в показателях преломления, а также учету углов:

Решив этот уравнение с учетом величин показателей преломления и углов, можно найти необходимое отношение толщин.

Итоговое отношение толщин:

В результате мы получаем, что для одинакового времени распространения света в двух веществах отношение толщин будет зависеть от показателей преломления:

Подставляем значения:

Таким образом, толщина алмаза должна быть примерно в 0.62 раза меньше толщины стекла, чтобы время распространения света в них было одинаковым.