Входной контур коротковолнового радиоприёмника был настроен на частоту,
соответствующую длине волны λ1 = 16 м. После того как контур
перестроили, изменив положение ферромагнитного сердечника внутри
катушки индуктивности контура и сдвинув пластины его плоского
воздушного конденсатора до вдвое меньшего расстояния между ними,
резонансная частота контура стала равной ν2 = 10 МГц. Как и во сколько раз
n изменилась при этом индуктивность катушки контура?

Задача состоит в том, чтобы определить, как изменилась индуктивность катушки радиоприёмника, если изменились параметры контура, что повлияло на резонансную частоту.

Дано:

1. Начальная длина волны λ₁ = 16 м.
2. Резонансная частота после перестройки контура ν₂ = 10 МГц.
3. Расстояние между пластинами конденсатора уменьшено в 2 раза.

Ход рассуждений:

Резонансная частота контурного колебания зависит от индуктивности $L$ и ёмкости $C$ контура по формуле:

где:

• $f$ — частота резонанса,
• $L$ — индуктивность,
• $C$ — ёмкость.

Сначала выразим индуктивность $L$ через резонансную частоту $f$ и ёмкость $C$:

Шаг 1. Найдём резонансные частоты для двух случаев:

Из условия задачи известно, что при начальной длине волны λ₁ резонансная частота будет:

где $c$ — скорость света ($c = 3 \times 10^8$ м/с).

Подставляем значение длины волны $\lambda_1 = 16 \, \text{м}$:

Итак, начальная частота $f_1 = 18.75 \, \text{МГц}$.

При второй настройке частота стала равной $f_2 = 10 \, \text{МГц}$.

Шаг 2. Влияние на индуктивность и ёмкость:

Когда контур перестроен, меняется и ёмкость, и индуктивность. Однако из условия задачи нам сообщается, что расстояние между пластинами конденсатора было уменьшено в 2 раза, а это значит, что ёмкость конденсатора $C$ увеличилась в 4 раза (так как ёмкость $C$ пропорциональна обратному расстоянию между пластинами).

Итак, изменение ёмкости:

Шаг 3. Связь между частотами и индуктивностью:

Так как резонансная частота зависит от произведения индуктивности и ёмкости, можно записать для двух состояний:

Из этих уравнений можно выразить отношение частот:

Подставляем $C_2 = 4C_1$:

Теперь возведём обе части в квадрат: