Диаметр шара разделен на три части, которые относятся как 2:1:3. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Вычислите объем получившегося шарового слоя если радиус шара равен R.

Задача заключается в нахождении объема шарового слоя, полученного делением шара на три части, где диаметр шара разделен на отрезки, относящиеся как 2:1:3. Для этого нужно использовать понятие объемов частей шара, а также свойства геометрии.

1. Разделение диаметра

Диаметр шара $D = 2R$, где $R$ — радиус шара.

Диаметр разделен на три части в отношении 2:1:3. То есть, длина первого отрезка $D_1$ составляет $\frac{2}{6}D = \frac{2}{6} \cdot 2R = \frac{2R}{3}$, длина второго отрезка $D_2$ — $\frac{1}{6}D = \frac{1}{6} \cdot 2R = \frac{R}{3}$, а длина третьего отрезка $D_3$ — $\frac{3}{6}D = \frac{3}{6} \cdot 2R = R$.

Таким образом, точки деления диаметра находятся на расстоянии $\frac{2R}{3}$ и $\frac{R}{3}$ от одного конца диаметра, если считать от центра.

2. Описание шарового слоя

Для вычисления объема шарового слоя, нужно понять, что это не просто сегмент шара, а разница объемов двух частей шара.

• Первая плоскость делит шар на две части: одна часть будет иметь радиус $\frac{2R}{3}$, а вторая — радиус $R$.
• Вторая плоскость делит оставшуюся часть шара на две части: одна часть будет иметь радиус $\frac{R}{3}$, а другая — оставшаяся часть с радиусом $\frac{2R}{3}$.

Шаровой слой — это пространство между этими плоскостями.

3. Вычисление объема части шара

Объем шара с радиусом $r$ вычисляется по формуле:

Для первой части шара с радиусом $R$:

Для части с радиусом $\frac{R}{3}$:

4. Вычисление объема слоя

Теперь объем шарового слоя можно вычислить как разницу объемов соответствующих частей шара:

Упростим выражение:

Ответ:

Объем шарового слоя, полученного в результате деления шара, равен $\frac{104 \pi R^3}{81}$.