Вычислить отношение масс Солнца и Земли по таким данным: Луна совершает 13 обращений в течение года; среднее расстояние от Солнца до Земли в 390 раз больше расстояния от Луны до Земли

Для вычисления отношения масс Солнца и Земли, воспользуемся законом всемирного тяготения и третьим законом Кеплера. Для простоты обозначим:

• $M$ — масса Солнца,
• $m$ — масса Земли,
• $R$ — расстояние от Солнца до Земли,
• $r$ — расстояние от Луны до Земли.

Данные:

1. Луна совершает 13 обращений вокруг Земли за один год.
2. Среднее расстояние от Солнца до Земли ($R$) в 390 раз больше расстояния от Луны до Земли ($r$): $$R = 390 \cdot r$$

Использование третьего закона Кеплера

Третий закон Кеплера для двух систем (Солнце-Земля и Земля-Луна) выражается как:

где:

• $T_1$ и $T_2$ — периоды обращения (годы и месяцы),
• $a_1$ и $a_2$ — средние расстояния (радиусы орбит).

Для системы Земля-Луна:

• Период обращения Луны $T_2 = \frac{1}{13}$ года.
• Расстояние $a_2 = r$.

Для системы Солнце-Земля:

• Период обращения Земли $T_1 = 1$ год.
• Расстояние $a_1 = R = 390r$.

Подставляем данные в соотношение:

Подставляем значения $T_1 = 1$, $T_2 = \frac{1}{13}$, и $R = 390r$:

Упростим:

Отношение масс Солнца и Земли

По закону всемирного тяготения:

Мы уже выяснили, что $\frac{R^3}{r^3} = 13^2$. Подставим:

Посчитаем $13^4$:

Ответ:

Отношение масс Солнца и Земли составляет 28561.