Тонкий однородный стержень массой m = 80 кг лежит на поверхности Земли. Какова длина стержня, если минимальная работа, которую необходимо совершить, чтобы поставить стержень вертикально, А=560 Дж?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно использовать концепцию работы, необходимой для изменения положения тела в поле силы тяжести. В данном случае работа, которую нужно совершить, чтобы перевести стержень из горизонтального положения в вертикальное, зависит от изменения потенциальной энергии стержня, так как сила тяжести будет действовать на его массу.

1. Определим потенциальную энергию стержня в обоих положениях: Когда стержень лежит горизонтально, его центр масс находится на расстоянии $L/2$ от поверхности Земли, где $L$ — длина стержня. В вертикальном положении центр масс будет находиться на высоте $L/2$ от основания стержня, так как центр масс стержня в любом случае будет располагаться в его середине.

2. Работа, необходимая для подъема стержня: Работа, которую нужно совершить, чтобы перевести стержень из горизонтального положения в вертикальное, равна разнице потенциальной энергии в этих двух положениях. Потенциальная энергия тела массой $m$, находящегося на высоте $h$, вычисляется по формуле:

   $$U = mgh$$

   В горизонтальном положении центр масс стержня находится на высоте $h_1 = L/2$, а в вертикальном — на высоте $h_2 = L/2$. Работу можно вычислить как разницу этих потенциальных энергий:

   $$A = \Delta U = m g \left( \frac{L}{2} - 0 \right)$$

   Это упрощается до:

   $$A = \frac{m g L}{2}$$

   Где:

   • $m = 80$ кг — масса стержня,
   • $g = 9,8$ м/с² — ускорение свободного падения,
   • $L$ — длина стержня.

3. Подставим известные значения:

   Из условия задачи нам известно, что работа, которую нужно совершить, составляет 560 Дж. Подставляем это значение в уравнение:

   $$560 = \frac{80 \cdot 9,8 \cdot L}{2}$$

   Упростим уравнение:

   $$560 = 392 L$$

4. Решим уравнение для $L$:

   $$L = \frac{560}{392} = 1,43 \, \text{м}$$

Таким образом, длина стержня, необходимая для выполнения работы 560 Дж, составляет 1,43 метра.