Определить работу силы тяжести совершаемую над искусственным спутником массой m.движущимся по круговой орбите радиуса R вокруг земли со скоростью V за один полный оборот.

Когда искусственный спутник движется по круговой орбите радиуса $R$ вокруг Земли со скоростью $V$, его движение описывается как равномерное круговое. Сила тяжести играет роль центростремительной силы, которая удерживает спутник на орбите, но сама по себе работа этой силы за один полный оборот равна нулю. Давайте подробно разберем, почему это так.

Основные понятия

1. Сила тяжести:

   $$F_g = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2},$$

   где:

   • $G$ — гравитационная постоянная,
   • $M$ — масса Земли,
   • $m$ — масса спутника,
   • $R$ — радиус орбиты.

2. Скорость спутника: Для круговой орбиты выполняется равенство центростремительной силы и силы тяжести:

   $$\frac{m \cdot V^2}{R} = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2}.$$

   Отсюда скорость спутника:

   $$V = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}.$$

3. Работа силы тяжести: Работа силы определяется как скалярное произведение силы и перемещения:

   $$A = \int \vec{F}_g \cdot d\vec{s}.$$

   Здесь $\vec{F}_g$ — сила тяжести, а $d\vec{s}$ — элемент перемещения спутника.

Анализ работы

Сила тяжести всегда направлена к центру Земли, то есть вдоль радиуса, а перемещение спутника вдоль орбиты направлено по касательной. Между вектором силы тяжести ($\vec{F}_g$) и вектором перемещения ($d\vec{s}$) угол составляет 90°.

Так как косинус угла между радиальной и касательной составляющей равен нулю ($\cos 90^\circ = 0$), то скалярное произведение силы тяжести и перемещения также равно нулю:

Таким образом, работа силы тяжести за любой элемент траектории равна нулю. За один полный оборот, состоящий из множества таких элементов, суммарная работа силы тяжести тоже будет равна нулю.

Итог

Работа силы тяжести, совершаемая над спутником массой $m$, движущимся по круговой орбите радиуса $R$ вокруг Земли со скоростью $V$, за один полный оборот равна:

Это связано с тем, что сила тяжести не изменяет скорость спутника в направлении его движения, а лишь удерживает его на орбите, выполняя роль центростремительной силы.