Какой остаток при делении на 8 дает число 7^43

Для нахождения остатка от деления $7^{43}$ на 8, нам нужно использовать свойства степеней и остатков. Основная идея здесь – уменьшить большое число $7^{43}$ до такого, с которым легче работать, не изменяя остаток при делении на 8.

Для начала рассмотрим свойства степеней семёрки и их остатки при делении на 8. Заметим, что:

1. $7^1 = 7$ оставляет остаток 7 при делении на 8.
2. $7^2 = 49$ оставляет остаток 1 при делении на 8, так как 49 = 48 + 1, и 48 делится на 8 нацело.
3. $7^3 = 343$ оставляет остаток 7, так как 343 = 336 + 7, и 336 делится на 8 нацело.
4. $7^4 = 2401$ оставляет остаток 1, так как 2401 = 2400 + 1, и 2400 делится на 8 нацело.

Замечаем закономерность: степени семёрки чередуют остатки 7 и 1 при делении на 8. Это связано с тем, что $7^2$ дает остаток 1, и умножение на $7^2$ не меняет остаток. Таким образом, все четные степени 7 дают остаток 1, а нечетные - остаток 7 при делении на 8.

Теперь вернемся к $7^{43}$. Поскольку 43 - нечетное число, $7^{43}$ даст тот же остаток при делении на 8, что и $7^1$, то есть 7.

Итак, остаток от деления $7^{43}$ на 8 равен 7.