Дан многочлен : P(x)=5x^2-(x^4-4x^2-x)-1 а) запишите многочлен в стандартном виде. б)Дополните: gradP(x)=; в)Найдите остаток от деления многочлена P(x) на двучлен Q(x)=x-1 ; г) найдите корни многочлена P(x)- Q(x)

Давайте решим этот вопрос шаг за шагом.

а) Запись многочлена в стандартном виде

Многочлен P(x) задан как $P(x) = 5x^2 - (x^4 - 4x^2 - x) - 1$. Чтобы привести его к стандартному виду, нужно раскрыть скобки и упорядочить члены по убыванию степеней x.

Раскрываем скобки: $P(x) = 5x^2 - x^4 + 4x^2 + x - 1$

Суммируем подобные члены: $P(x) = -x^4 + (5x^2 + 4x^2) + x - 1$ $P(x) = -x^4 + 9x^2 + x - 1$

Таким образом, в стандартном виде многочлен будет: $-x^4 + 9x^2 + x - 1$.

б) Градиент многочлена

Градиент (или производная) многочлена P(x) обозначается как grad P(x) или P'(x). Для нахождения градиента, мы берем производную каждого члена многочлена по x.

$P'(x) = \frac{d}{dx}(-x^4 + 9x^2 + x - 1)$ $P'(x) = -4x^3 + 18x + 1$

Таким образом, $grad P(x) = -4x^3 + 18x + 1$.

в) Остаток от деления многочлена P(x) на Q(x)

Чтобы найти остаток от деления многочлена P(x) на двучлен Q(x) = x - 1, мы можем использовать схему Горнера или просто подставить x = 1 в P(x), поскольку если многочлен делится на (x - a), остаток равен P(a).

$P(1) = -(1)^4 + 9(1)^2 + 1 - 1$ $P(1) = -1 + 9 + 1 - 1$ $P(1) = 8$

Таким образом, остаток от деления P(x) на Q(x) равен 8.

г) Корни многочлена P(x) - Q(x)

Многочлен P(x) - Q(x) будет выглядеть так:

$P(x) - Q(x) = (-x^4 + 9x^2 + x - 1) - (x - 1)$ $P(x) - Q(x) = -x^4 + 9x^2$

Для нахождения корней этого многочлена, мы приравниваем его к нулю и решаем уравнение:

$-x^4 + 9x^2 = 0$

Решим это уравнение. Для этого можно вынести x^2 как общий множитель:

$x^2(-x^2 + 9) = 0$

Теперь мы имеем два уравнения:

1. $x^2 = 0$
2. $-x^2 + 9 = 0$

Из первого уравнения получаем, что один корень равен 0. Из второго уравнения:

$-x^2 = -9$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$

Таким образом, корни многочлена P(x) - Q(x) равны 0, 3, и -3.