Используйте графики (см. рис. 3.22, а), решите уравнение х^3=1/х.

Для решения уравнения $x^3 = \frac{1}{x}$ начнем с его преобразования. Умножим обе стороны уравнения на $x$ (предполагая, что $x \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

Теперь мы можем выразить это уравнение в виде:

Это уравнение можно факторизовать как разность квадратов:

Теперь решим каждую из частей.

1. Первое уравнение: $x^2 - 1 = 0$

   Это уравнение дает два корня:

   $$x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1$$

2. Второе уравнение: $x^2 + 1 = 0$

   Это уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни:

   $$x^2 = -1 \implies x = i \quad \text{или} \quad x = -i$$

Таким образом, у нас есть четыре решения уравнения $x^3 = \frac{1}{x}$:

Графический анализ

Для визуализации решения мы можем рассмотреть графики функций $y = x^3$ и $y = \frac{1}{x}$.

1. График $y = x^3$:

   • Эта функция проходит через начало координат (0,0) и имеет характерный вид кубической функции, стремящуюся к бесконечности при $x \to +\infty$ и к минус бесконечности при $x \to -\infty$.

2. График $y = \frac{1}{x}$:

   • Эта функция определена для всех $x \neq 0$ и имеет асимптоты: вертикальная (при $x = 0$) и горизонтальная (при $y = 0$).
   • При $x > 0$, график функции убывает от $+\infty$ до 0, а при $x < 0$ — от 0 до $-\infty$.

Пересечение графиков

• Пересечения этих графиков показывают значения $x$, при которых $x^3 = \frac{1}{x}$.
• Мы уже нашли, что пересечения происходят в точках $x = 1$ и $x = -1$. Для комплексных решений ( $i$ и $-i$ ) график не пересекается с осью абсцисс, так как они находятся в комплексной плоскости.

Таким образом, основные решения уравнения $x^3 = \frac{1}{x}$ — это $1, -1, i, -i$.