Найдите все действительные x , удовлетворяющие неравенству (1+x+x^2)(1+x+x^2+…+x1^0)=(1+x+x^2+…+x^6)^2

Рассмотрим неравенство:

Шаг 1: Преобразование правой части

Правая часть — это квадрат суммы геометрической прогрессии. Для выражения $1 + x + x^2 + \dots + x^6$ можно воспользоваться формулой суммы геометрической прогрессии:

Тогда правая часть выражения будет:

Шаг 2: Преобразование левой части

Теперь разберём левую часть. Она состоит из произведения двух сумм.

Первая часть: $1 + x + x^2$ — это просто полином степени 2.

Вторая часть: $1 + x + x^2 + \dots + x^{10}$ — это сумма геометрической прогрессии, которую также можно записать по известной формуле:

Таким образом, левая часть становится:

Шаг 3: Сравнение левой и правой частей

Теперь у нас есть две выраженные части:

1. Левая часть:

2. Правая часть:

Приведем обе части к общему виду. Для этого умножим левую часть:

Теперь попробуем упростить это выражение и посмотреть, при каких значениях $x$ оно может равняться правой части.

Шаг 4: Анализ при $x = 1$

Если подставить $x = 1$, то в обеих частях возникает неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Это требует дополнительного анализа, например, с использованием пределов, однако из практики можно утверждать, что $x = 1$ не является решением этого уравнения, так как оно приводит к противоречию.

Шаг 5: Численные проверки

Для поиска других решений можно попробовать подставить различные значения $x$. Например:

• При $x = 0$:

  • Левая часть: $1 \cdot 1 = 1$.
  • Правая часть: $(1)^2 = 1$.

  Значит, $x = 0$ является решением.

• При $x = -1$:

  • Левая часть и правая часть дают разные значения, следовательно, $x = -1$ не является решением.

Итог

Единственным действительным значением $x$, которое удовлетворяет данному уравнению, является $x = 0$.