На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=2, DC=13. Площадь треугольника ABC равна 75. Найдите площадь треугольника ABD.

Рассмотрим треугольник ABC, где точка D находится на стороне AC. Известно, что $AD = 2$, $DC = 13$, а общая длина стороны $AC = AD + DC = 2 + 13 = 15$. Площадь треугольника ABC равна 75. Нужно найти площадь треугольника ABD.

Для этого воспользуемся тем, что площадь треугольника пропорциональна длине его основания, если высота к этому основанию одинакова. Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат в одной плоскости, высота, проведенная из точки $B$, будет одинаковой как для треугольника $ABC$, так и для треугольника $ABD$, если они имеют общее основание, или его часть (в данном случае сторона $AD$ является частью $AC$).

Отношение площадей треугольников $ABD$ и $ABC$ будет равно отношению длин отрезков $AD$ и $AC$, так как высота из точки $B$ одинакова для обоих треугольников:

Подставляем известные значения:

Теперь найдём площадь треугольника $ABD$, умножив площадь треугольника $ABC$ на это отношение:

Таким образом, площадь треугольника $ABD$ равна 10.