Даю 40 баллов. Решите биквадратное уравнение: x^6+4x^4-x^2-4=0

Чтобы решить биквадратное уравнение $x^6 + 4x^4 - x^2 - 4 = 0$, начнем с замены переменной. Поскольку у нас есть степени $x^6$, $x^4$ и $x^2$, удобно заменить $y = x^2$. Тогда уравнение становится:

Теперь решим это кубическое уравнение. Для начала попробуем найти корни методом подбора. Проверим несколько целых значений:

1. Подставляем $y = 1$: $$1^3 + 4(1^2) - 1 - 4 = 1 + 4 - 1 - 4 = 0$$ Значит, $y = 1$ является корнем.

Теперь воспользуемся делением многочлена, чтобы упростить уравнение. Разделим $y^3 + 4y^2 - y - 4$ на $y - 1$ с помощью деления многочленов:

1. $y^3 \div y = y^2$
2. Умножаем $y^2$ на $y - 1$ и вычитаем: $$(y^3 + 4y^2 - y - 4) - (y^3 - y^2) = 5y^2 - y - 4$$
3. $5y^2 \div y = 5y$
4. Умножаем $5y$ на $y - 1$ и вычитаем: $$(5y^2 - y - 4) - (5y^2 - 5y) = 4y - 4$$
5. $4y \div y = 4$
6. Умножаем $4$ на $y - 1$ и вычитаем: $$(4y - 4) - (4y - 4) = 0$$

Таким образом, мы разложили $y^3 + 4y^2 - y - 4$ на множители:

Теперь решим квадратное уравнение $y^2 + 5y + 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

1. $y_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$
2. $y_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4$

Теперь у нас есть три корня:

1. $y_1 = 1$
2. $y_2 = -1$
3. $y_3 = -4$

Поскольку мы вернулись к переменной $x$, помним, что $y = x^2$. Теперь найдем $x$:

1. Для $y = 1$