15
Укажите решение неравенства
8x -x2 <0.
​

Решение неравенства $8x - x^2 < 0$ сводится к нахождению тех значений $x$, при которых данное выражение верно. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Перепишем неравенство в стандартной форме

У нас есть неравенство:

Перепишем его так, чтобы это был стандартный вид квадратного неравенства:

Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от отрицательного знака перед $x^2$:

Шаг 2: Найдем нули уравнения

Для решения этого неравенства, нам нужно найти точки, в которых $x^2 - 8x = 0$. Это уравнение можно решить через вынесение общего множителя за скобки:

Тогда корни уравнения:

Эти точки разделяют числовую ось на интервалы, где выражение может менять знак.

Шаг 3: Определим знаки на интервалах

Теперь разделим числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$. Проверим знак выражения $x(x - 8)$ на каждом из этих интервалов:

1. На интервале $(-\infty; 0)$: Возьмем тестовую точку, например, $x = -1$. Подставляем в выражение $x(x - 8)$:

   $$(-1)((-1) - 8) = (-1)(-9) = 9$$

   Знак положительный.

2. На интервале $(0; 8)$: Возьмем точку, например, $x = 1$. Подставляем в выражение:

   $$1(1 - 8) = 1(-7) = -7$$

   Знак отрицательный.

3. На интервале $(8; +\infty)$: Возьмем точку, например, $x = 9$. Подставляем в выражение:

   $$9(9 - 8) = 9(1) = 9$$

   Знак положительный.

Шаг 4: Определим решение неравенства

Неравенство $x^2 - 8x > 0$ выполняется там, где выражение положительно. Это соответствует интервалам:

На интервале $(0; 8)$ выражение отрицательное, и неравенство не выполняется.

Ответ:

Решение неравенства $8x - x^2 < 0$ — это $x \in (0; 8)$.