Задача 1. В двух урнах находится соответственно 4 и 5 белых и 6 и 3 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу берется один. Какова вероятность, что это будет белый шар? ​

Для решения задачи давайте разберем все этапы по порядку и рассчитаем вероятность того, что выбранный шар окажется белым.

Условия задачи:

• В первой урне 4 белых шара и 6 чёрных (всего 10 шаров).
• Во второй урне 5 белых шаров и 3 чёрных (всего 8 шаров).
• Из каждой урны извлекается один шар.
• После этого из двух извлечённых шаров наудачу выбирается один.

Нам нужно найти вероятность того, что выбранный шар окажется белым.

Шаг 1: Определение вероятности каждого из возможных событий.

1. Извлечение шара из первой урны:

   • Вероятность того, что извлечённый шар из первой урны окажется белым: $$P(\text{белый из 1-й урны}) = \frac{4}{10} = 0.4$$
   • Вероятность того, что извлечённый шар из первой урны окажется чёрным: $$P(\text{чёрный из 1-й урны}) = \frac{6}{10} = 0.6$$

2. Извлечение шара из второй урны:

   • Вероятность того, что извлечённый шар из второй урны окажется белым: $$P(\text{белый из 2-й урны}) = \frac{5}{8} = 0.625$$
   • Вероятность того, что извлечённый шар из второй урны окажется чёрным: $$P(\text{чёрный из 2-й урны}) = \frac{3}{8} = 0.375$$

Шаг 2: Рассмотрим все возможные исходы.

Когда два шара извлекаются (один из каждой урны), существует 4 возможных случая:

1. Белый шар из первой урны и белый шар из второй урны.
2. Белый шар из первой урны и чёрный шар из второй урны.
3. Чёрный шар из первой урны и белый шар из второй урны.
4. Чёрный шар из первой урны и чёрный шар из второй урны.

Каждый из этих случаев имеет свою вероятность, которую можно найти, умножив вероятности соответствующих событий.

Шаг 3: Рассчитаем вероятность того, что выбранный шар будет белым.

• Случай 1: Белый из первой урны и белый из второй урны:

  • Вероятность того, что из каждой урны извлечён белый шар: $$P(\text{белый из 1-й урны}) \times P(\text{белый из 2-й урны}) = 0.4 \times 0.625 = 0.25$$
  • Если из этих двух шаров наудачу выбирается один, то вероятность того, что это будет белый, равна $\frac{1}{2}$, поскольку оба шара белые. Таким образом, вероятность этого случая: $$0.25 \times \frac{1}{2} = 0.125$$

• Случай 2: Белый из первой урны и чёрный из второй урны:

  • Вероятность того, что из первой урны извлечён белый шар, а из второй — чёрный: $$P(\text{белый из 1-й урны}) \times P(\text{чёрный из 2-й урны}) = 0.4 \times 0.375 = 0.15$$
  • Если из этих двух шаров наудачу выбирается один, то вероятность того, что это будет белый, равна $\frac{1}{2}$, так как один шар белый, а второй чёрный. Таким образом, вероятность этого случая: $$0.15 \times \frac{1}{2} = 0.075$$

• Случай 3: Чёрный из первой урны и белый из второй урны:

  • Вероятность того, что из первой урны извлечён чёрный шар, а из второй — белый: $$P(\text{чёрный из 1-й урны}) \times P(\text{белый из 2-й урны}) = 0.6 \times 0.625 = 0.375$$
  • Если из этих двух шаров наудачу выбирается один, то вероятность того, что это будет белый, опять же $\frac{1}{2}$, так как один шар белый, а второй чёрный. Таким образом, вероятность этого случая: $$0.375 \times \frac{1}{2} = 0.1875$$

• Случай 4: Чёрный из первой урны и чёрный из второй урны:

  • Вероятность того, что из каждой урны извлечён чёрный шар: $$P(\text{чёрный из 1-й урны}) \times P(\text{чёрный из 2-й урны}) = 0.6 \times 0.375 = 0.225$$
  • В этом случае, поскольку оба шара чёрные, вероятность того, что выбранный шар окажется белым, равна 0: $$0.225 \times 0 = 0$$

Шаг 4: Сложим вероятности всех случаев, когда выбран белый шар.

Теперь, чтобы найти общую вероятность того, что выбранный шар окажется белым, нужно сложить вероятности белого шара из всех случаев:

Таким образом, вероятность того, что выбранный шар будет белым, равна 0.3875, или 38.75%.