От станции А в направлении станции В, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый из них прибыл на станцию В на 1 ч раньше второго. Найдите скорость движения каждого поезда, если второй проходит за 2 ч на 40 км больше, чем первый - за один час.

Давайте решим задачу, разложив её на понятные шаги.

Обозначим:

• скорость первого поезда как $v_1$ (км/ч),
• скорость второго поезда как $v_2$ (км/ч).

Сразу известно:

1. Расстояние между станциями A и B равно 240 км.
2. Первый поезд прибыл на станцию B на 1 час раньше второго.
3. Второй поезд проходит за 2 часа на 40 км больше, чем первый поезд проходит за 1 час.

Шаг 1: Выразим время в пути для каждого поезда

Пусть:

• время в пути первого поезда равно $t_1 = \frac{240}{v_1}$,
• время в пути второго поезда равно $t_2 = \frac{240}{v_2}$.

Так как первый поезд прибыл на 1 час раньше, у нас есть уравнение:

или, подставив выражения для времени:

Шаг 2: Используем второе условие о пройденных расстояниях

Второй поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем первый поезд за 1 час. Значит:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{240}{v_2} = \frac{240}{v_1} + 1$,
2. $2v_2 = v_1 + 40$.

Шаг 3: Решим систему уравнений

Подставим $v_1$ из второго уравнения во первое уравнение.

Из второго уравнения выразим $v_1$:

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

Приведём уравнение к удобной форме для решения.

Умножим обе стороны на $v_2(2v_2 - 40)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки и упростим:

Приведём подобные слагаемые:

Разделим все на 2:

Решим квадратное уравнение.

Это квадратное уравнение относительно $v_2$. Найдём его корни по формуле:

Посчитаем дискриминант:

Корни уравнения:

Получаем два решения:

1. $v_2 = \frac{140 + 20}{2} = 80$ км/ч,
2. $v_2 = \frac{140 - 20}{2} = 60$