Тема: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Из пункта A выехал грузовой автомобиль и двигался со скоростью 40 км/ч. Одновременно в том же направлении из пункта B отправился легковой автомобиль, который в первый час прошёл 50 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов легковой автомобиль догонит грузовой, если известно, что расстояние от пункта B до пункта A равно 135 км?

Пусть легковой автомобиль догонит грузовой через \( n \) часов.

Грузовик выехал из пункта \( A \), а легковая машина — из пункта \( B \), который находится на \( 135 \) км позади. Значит, легковой машине надо пройти на \( 135 \) км больше, чем грузовику.

За \( n \) часов грузовик проедет:

\[ 40n \]

Легковой автомобиль проходит за часы расстояния: \( 50, 55, 60, 65, \ldots \). Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 50 \), \( d = 5 \).

Сумма пути легкового автомобиля за \( n \) часов:

\[ S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n \]

Подставим:

\[ S_n = \frac{2 \cdot 50 + 5(n - 1)}{2} \cdot n = \frac{100 + 5n - 5}{2} \cdot n = \frac{5n + 95}{2} \cdot n \]

Условие встречи:

\[ \frac{5n + 95}{2} \cdot n = 40n + 135 \]

Решим:

\[ 5n^2 + 95n = 80n + 270 \]

\[ 5n^2 + 15n - 270 = 0 \]

\[ n^2 + 3n - 54 = 0 \]

\[ (n + 9)(n - 6) = 0 \]

Подходит только положительное значение:

\[ n = 6 \]

Ответ: через 6 часов.

0 0 Пожаловаться