Знаменатель несократимой дроби на 7 больше числителя. Если числитель и знаменатель дроби увеличить на 2, то дробь увеличится на 1/12. Найдите эту дробь.

Рассмотрим задачу пошагово.

1. Обозначим числитель и знаменатель дроби: Пусть числитель дроби равен $x$, тогда знаменатель будет $x + 7$, так как он на 7 больше числителя.

2. Составим исходное выражение для дроби: Дробь, о которой идет речь, имеет вид:

   $$\frac{x}{x + 7}$$

3. Увеличим числитель и знаменатель на 2: Если числитель и знаменатель увеличить на 2, то новая дробь станет:

   $$\frac{x + 2}{x + 7 + 2} = \frac{x + 2}{x + 9}$$

4. Составим уравнение по условию задачи: По условию, если увеличить числитель и знаменатель на 2, то дробь увеличится на $\frac{1}{12}$. Это значит, что разность между новой дробью $\frac{x + 2}{x + 9}$ и исходной дробью $\frac{x}{x + 7}$ равна $\frac{1}{12}$:

   $$\frac{x + 2}{x + 9} - \frac{x}{x + 7} = \frac{1}{12}$$

5. Приведем обе дроби в левой части уравнения к общему знаменателю: Общий знаменатель для дробей $\frac{x + 2}{x + 9}$ и $\frac{x}{x + 7}$ равен $(x + 9)(x + 7)$. Преобразуем выражение:

   $$\frac{(x + 2)(x + 7) - x(x + 9)}{(x + 9)(x + 7)} = \frac{1}{12}$$

6. Раскроем скобки в числителе: Выполним умножение:

   $$(x + 2)(x + 7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$$

   и

   $$x(x + 9) = x^2 + 9x$$

   Тогда числитель превращается в:

   $$x^2 + 9x + 14 - (x^2 + 9x) = 14$$

   Таким образом, уравнение упрощается до:

   $$\frac{14}{(x + 9)(x + 7)} = \frac{1}{12}$$

7. Решим уравнение: Преобразуем его, умножив обе стороны на $12(x + 9)(x + 7)$:

   $$14 \cdot 12 = (x + 9)(x + 7)$$ $$168 = x^2 + 16x + 63$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$x^2 + 16x - 105 = 0$$

8. Решим квадратное уравнение: Найдем дискриминант:

   $$D = 16^2 + 4 \cdot 105 = 256 + 420 = 676$$ $$x = \frac{-16 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{-16 \pm 26}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-42}{2} = -21$$

   Отрицательный корень нас не устраивает, так как числитель и знаменатель дроби должны быть положительными числами. Значит, $x = 5$.

9. Найдем знаменатель и саму дробь: Тогда числитель равен 5, а знаменатель $x + 7 = 12$. Искомая дробь:

   $$\frac{5}{12}$$

Ответ: Искомая дробь — $\frac{5}{12}$.