Какие из выражений имеют смысл при любых значениях x? 5:(x - 3)
1: (x 2 - 1)
1: (x 2 + 1)
x 2 : (x 2 + 5)

Чтобы определить, какие из данных выражений имеют смысл при любых значениях $x$, нужно разобраться, при каких значениях $x$ каждое выражение определено. Определенность выражения зависит от деления на ноль: если знаменатель равен нулю при каком-либо значении $x$, то выражение на этом значении становится неопределённым.

Рассмотрим каждое из выражений по отдельности:

1. $\frac{5}{x - 3}$

   Это выражение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю, то есть:

   $$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$

   Следовательно, это выражение определено при всех значениях $x$, кроме $x = 3$. Поэтому оно не имеет смысла при всех значениях $x$.

2. $\frac{1}{x^2 - 1}$

   Знаменатель здесь равен $x^2 - 1$. Чтобы избежать деления на ноль, нужно, чтобы $x^2 - 1 \neq 0$, то есть:

   $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \neq 0$$

   Это условие выполняется, если $x \neq \pm 1$. Следовательно, это выражение определено при всех значениях $x$, кроме $x = 1$ и $x = -1$. Поэтому оно не имеет смысла при всех значениях $x$.

3. $\frac{1}{x^2 + 1}$

   Здесь знаменатель $x^2 + 1$. Заметим, что $x^2 + 1$ всегда больше или равно 1, поскольку $x^2$ неотрицательно для любых значений $x$ (результат возведения в квадрат никогда не бывает отрицательным), а значит, $x^2 + 1 \neq 0$ для всех значений $x$. Таким образом, это выражение имеет смысл при всех значениях $x$.

4. $\frac{x^2}{x^2 + 5}$

   Знаменатель здесь $x^2 + 5$. Подобно предыдущему выражению, заметим, что $x^2$ неотрицательно, и $x^2 + 5$ всегда больше или равно 5, что никогда не даёт ноль для любых значений $x$. Таким образом, это выражение имеет смысл при всех значениях $x$.

Ответ

Итак, из приведенных выражений смысл при любых значениях $x$ имеют:

• $\frac{1}{x^2 + 1}$
• $\frac{x^2}{x^2 + 5}$

Остальные выражения неопределённы при некоторых значениях $x$ (когда знаменатель обращается в ноль).