У натуральному числі переставили цифри й отримали число, яке утричі менше від початкового. Доведіть, що початкове число ділиться на 27.

Нехай початкове число — \( N \), а число після перестановки цифр — \( M \). За умовою \( N = 3M \).

Оскільки \( M \) утворене перестановкою цифр числа \( N \), суми цифр цих чисел однакові. Тому числа мають однакові остачі при діленні на 9: \( N \equiv M \pmod{9} \).

Підставимо \( N = 3M \): \( 3M \equiv M \pmod{9} \), звідки \( 2M \equiv 0 \pmod{9} \). Оскільки 2 і 9 взаємно прості, це означає, що \( M \) ділиться на 9: \( M = 9k \) для деякого натурального \( k \).

Тоді \( N = 3M = 3 \cdot 9k = 27k \), тобто \( N \) ділиться на 27.

0 0 Пожаловаться