Найдите все значения параметра а, для каждого из которых уравнение

9(a-x)(a+x)/Ig(x+2)=x³(x-6)/lg(x + 2)
имеет ровно два коргя

помогите срочно пожалуйста ​

Уравнение: \(\frac{9(a-x)(a+x)}{\lg(x+2)} = \frac{x^3(x-6)}{\lg(x+2)}\).

ОДЗ: \(x+2>0,\ x+2 \neq 1 \Rightarrow x>-2,\ x \neq -1\).

Умножаем на \(\lg(x+2)\) (не равное нулю): \(9(a^2 - x^2) = x^3(x-6)\).

Преобразуем: \(x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 9a^2 = 0\), или \(x^2(x-3)^2 = 9a^2\).

Тогда \(|x(x-3)| = 3|a|\), откуда \(x(x-3) = \pm 3a\).

Получаем два квадратных уравнения:

1) \(x^2 - 3x - 3a = 0\), дискриминант \(D_1 = 9+12a\).

2) \(x^2 - 3x + 3a = 0\), дискриминант \(D_2 = 9-12a\).

Корни должны удовлетворять ОДЗ. Рассмотрим случаи.

Случай 1: \(a < -\frac{3}{4}\). Тогда \(D_1 < 0\), корни даёт только второе уравнение: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9-12a}}{2}\). Оба корня попадают в ОДЗ при \(a > -\frac{10}{3}\). При \(a = -\frac{10}{3}\) меньший корень равен \(-2\) (не входит), при \(a < -\frac{10}{3}\) — меньше \(-2\). Значит, два корня при \(a \in (-\frac{10}{3}; -\frac{3}{4})\).

Случай 2: \(a = -\frac{3}{4}\). \(D_1 = 0\) даёт корень \(x = \frac{3}{2}\); второе уравнение даёт два корня. Всего три корня — не подходит.

Случай 3: \(-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{4}\). Оба уравнения имеют по два корня, всего четыре различных корня (кроме \(a = 0\)). При \(a = 0\) уравнения совпадают: \(x^2 - 3x = 0\), корни \(0\) и \(3\) — ровно два корня. При остальных \(a\) из интервала — четыре корня.

Случай 4: \(a = \frac{3}{4}\). Аналогично случаю 2 — три корня.

Случай 5: \(a > \frac{3}{4}\). \(D_2 < 0\), корни даёт только первое уравнение: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+12a}}{2}\). Оба корня входят в ОДЗ при \(a < \frac{10}{3}\). При \(a = \frac{10}{3}\) меньший корень равен \(-2\) (не входит), при \(a > \frac{10}{3}\) — меньше \(-2\). Значит, два корня при \(a \in (\frac{3}{4}; \frac{10}{3})\).

Объединяя: \(a \in (-\frac{10}{3}; -\frac{3}{4}) \cup \{0\} \cup (\frac{3}{4}; \frac{10}{3})\).

0 0 Пожаловаться