Решите уравнение:
tg(π+x)+2tg(π/2+x)+1=0

Решим уравнение:

\[ \tg(\pi + x) + 2\tg\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 \]

Используем свойства тангенса:

• \( \tg(\pi + x) = \tg x \), потому что период тангенса равен \( \pi \);
• \( \tg\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\ctg x \).

Получаем:

\[ \tg x - 2\ctg x + 1 = 0 \]

Пусть \( t = \tg x \). Тогда \( \ctg x = \frac{1}{t} \), причём \( t \ne 0 \).

\[ t - \frac{2}{t} + 1 = 0 \]

Умножим на \( t \):

\[ t^2 + t - 2 = 0 \]

Разложим:

\[ (t + 2)(t - 1) = 0 \]

Значит:

\[ t = 1 \quad \text{или} \quad t = -2 \]

Возвращаемся к \( x \):

\[ \tg x = 1 \quad \text{или} \quad \tg x = -2 \]

Ответ:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \arctg(-2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

0 0 Пожаловаться