Исследуйте функции и постройте их графики:
а) f(x) = 2cosx - 1
б) f(x) = 2x - 1/x + 1

а) \(f(x)=2\cos x-1\)

• Область определения: \(D(f)=\mathbb{R}\).
• Область значений: так как \(-1\leq \cos x\leq 1\), то \(-3\leq 2\cos x-1\leq 1\). Значит, \(E(f)=[-3;1]\).
• Период: \(T=2\pi\).
• Функция чётная, потому что \(\cos(-x)=\cos x\).
• Нули функции: \(2\cos x-1=0\), значит \(\cos x=\frac{1}{2}\), откуда \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
• Максимум: \(f(x)=1\) при \(x=2\pi k\).
• Минимум: \(f(x)=-3\) при \(x=\pi+2\pi k\).

График получается из графика \(y=\cos x\): растягиваем его по вертикали в 2 раза и опускаем на 1 вниз.

б) \(f(x)=2x-\frac{1}{x}+1\)

• Область определения: \(x\neq 0\), то есть \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
• Вертикальная асимптота: \(x=0\).
• Наклонная асимптота: \(y=2x+1\), потому что дробная часть \(-\frac{1}{x}\) при больших \(|x|\) стремится к нулю.
• Нули функции: \(2x-\frac{1}{x}+1=0\). Умножим на \(x\): \(2x^2+x-1=0\). Тогда \(x=-1\) или \(x=\frac{1}{2}\).
• Производная: \(f'(x)=2+\frac{1}{x^2}\). Она всегда положительна при \(x\neq 0\), значит функция возрастает на \((-\infty;0)\) и на \((0;+\infty)\).
• Экстремумов нет.

График состоит из двух ветвей. Левая ветвь возрастает, проходит через точку \((-1;0)\) и при \(x\to 0-\) уходит вверх. Правая ветвь при \(x\to 0+\) уходит вниз, затем возрастает и проходит через точку \(\left(\frac{1}{2};0\right)\).

0 0 Пожаловаться