Из формулы медианы треугольника и теоремы косинусов выразите сторону a через сторону b, медиану m и величину cos α.

Пусть медиана \(m\) проведена к стороне \(c\), а угол \(\alpha\) — между сторонами \(a\) и \(b\).

Формула медианы:

\[m=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}\]

По теореме косинусов:

\[c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha\]

Подставим это в формулу медианы:

\[4m^{2}=2a^{2}+2b^{2}-(a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha)\]

\[4m^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha\]

Получаем квадратное уравнение относительно \(a\):

\[a^{2}+2b\cos\alpha \cdot a+b^{2}-4m^{2}=0\]

Отсюда:

\[a=-b\cos\alpha+\sqrt{4m^{2}-b^{2}(1-\cos^{2}\alpha)}\]

Берём корень, который даёт положительную длину стороны.

0 0 Пожаловаться