Найти целочисленный треугольник Пифагора, площадь которого численно равна периметру.

Итак, задача звучит так: найти целочисленный треугольник Пифагора (т.е. прямоугольный треугольник с целыми сторонами $a, b, c$), у которого площадь равна периметру численно. Давайте разберёмся шаг за шагом.

Шаг 1: Основные условия

1. Прямоугольный треугольник: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — гипотенуза.

2. Площадь: $S = \frac{1}{2}ab$.

3. Периметр: $P = a + b + c$.

4. Условие задачи: $S = P$, значит:

Или, умножив обе стороны на 2:

Шаг 2: Подстановка формулы для гипотенузы

Пусть $a, b, c$ — целые числа и $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Тогда получаем:

Нужно искать целочисленные решения. Такие задачи чаще всего решаются подбором относительно небольших чисел, потому что большие числа дают большие сложности для ручного поиска.

Шаг 3: Пробуем простые целые тройки Пифагора

Известные маленькие целые тройки:

• (3, 4, 5)
  Проверяем: $S = \frac{3\cdot4}{2} = 6$, $P = 3+4+5=12$ → не равно.

• (5, 12, 13)
  $S = \frac{5\cdot12}{2} = 30$, $P = 5+12+13=30$ → идеально!

Да, это решение подходит.

Шаг 4: Проверка

• $a = 5, b = 12, c = 13$

• Площадь: $S = \frac{5\cdot12}{2} = 30$

• Периметр: $P = 5 + 12 + 13 = 30$

Площадь действительно равна периметру.

Шаг 5: Ответ

Целочисленный треугольник Пифагора, удовлетворяющий условию, имеет стороны:

Это единственная классическая маленькая тройка, которая удовлетворяет условию $S = P$.

Вывод:
Прямоугольный треугольник с целыми сторонами $5, 12, 13$ — это треугольник Пифагора, у которого площадь численно равна периметру.