в равносторонний треугольник со стороной 8 см вписан другой треугольник вершинами которого является середины сторон первого во второй треугольник таким же образом вписан треугольник и т д.Найдите периметр восьмого треугольника.

Оч нужно с решением.

Задача сводится к нахождению периметра восьмого треугольника, который образуется в процессе последовательного вписывания треугольников, вершины которых — это середины сторон предыдущего треугольника.

Шаг 1: Рассмотрим начальный треугольник

Итак, у нас есть равносторонний треугольник со стороной 8 см. Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

где $a$ — длина стороны треугольника. Для первого треугольника:

Шаг 2: Вписывание второго треугольника

Второй треугольник вписан таким образом, что его вершины находятся в серединах сторон первого треугольника. Это означает, что стороны второго треугольника равны половине сторон первого. Следовательно, длина стороны второго треугольника будет равна:

Соответственно, периметр второго треугольника:

Шаг 3: Вписывание третьего треугольника

Аналогично, стороны третьего треугольника равны половине сторон второго. То есть:

Периметр третьего треугольника:

Шаг 4: Общая закономерность

Мы видим, что каждый последующий периметр является половиной предыдущего, так как каждая сторона нового треугольника в два раза меньше, чем у предыдущего. Таким образом, можно выразить периметр $P_n$-го треугольника через периметр первого треугольника $P_1$ по следующей формуле:

Шаг 5: Находим периметр восьмого треугольника

Мы знаем, что периметр первого треугольника $P_1 = 24$ см. Подставляем $n = 8$ в формулу:

Ответ:

Периметр восьмого треугольника составляет $\frac{3}{16}$ см.