Найдите точку максимума функции y=(2x^(2)-30x+30)e^x+30

Давайте разберём задачу шаг за шагом. Нам нужно найти точку максимума функции

1. Найдём производную

Для экстремумов функции нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Функция имеет вид $u(x)v(x) + c$, где $u(x) = 2x^2 - 30x + 30$, $v(x) = e^x$, а $c = 30$.

Производная будет по правилу произведения:

2. Приравняем производную к нулю

Так как $e^x \neq 0$, получаем:

3. Определим характер критических точек

Для этого используем вторую производную или анализ знака первой производной. Проверим знак $y'$ около точек $x = 0$ и $x = 13$:

• Для $x < 0$: $2x(x-13) > 0 \cdot <0 = ?$
  Например, $x = -1$: $2(-1)(-1 - 13) = 2(-1)(-14) = 28 > 0$ → производная положительна.

• Для $0 < x < 13$: например, $x = 1$: $2(1)(1-13) = 2*1*(-12) = -24 < 0$ → производная отрицательна.

• Для $x > 13$: например, $x = 14$: $2(14)(14-13) = 28 > 0$ → производная положительна.

Знак производной:

Таким образом:

• В точке $x = 0$ производная меняется с + на − → максимум.

• В точке $x = 13$ производная меняется с − на + → минимум.

4. Найдём значение функции в максимуме

✅ Ответ

• Точка максимума: $x = 0$

• Значение функции в точке максимума: $y_{\max} = 60$