Помогите решить, пожалуйста Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума f (x)= 3+24x-3x²-x³-1
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
F(x)= x³-9x+24x-1 на отрезке [-1;3]

Давайте разберем ваши два запроса по порядку.

Задание 1: Найти промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума функции:

Функция:
$f(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3 - 1 = 2 + 24x - 3x^2 - x^3$

1. Найдем производную функции $f'(x)$, чтобы определить, где функция возрастает или убывает, а также найти критические точки (в которых производная равна нулю или не существует).

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2 + 24x - 3x^2 - x^3)$ Производная:
$f'(x) = 24 - 6x - 3x^2$

2. Найдем критические точки. Для этого решим уравнение $f'(x) = 0$:

Умножим обе стороны на $-1$, чтобы упростить уравнение:

или

Теперь решим это квадратное уравнение. Разделим его на 3:

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы:

Получаем два корня:

Таким образом, критические точки — $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

3. Анализ знаков производной для нахождения промежутков возрастания и убывания. Разобьем числовую ось на интервалы, используя найденные критические точки, и исследуем знак производной:

• Для интервала $(-\infty, -4)$: Возьмем точку $x = -5$. Подставляем в производную:

  $$f'(-5) = 24 - 6(-5) - 3(-5)^2 = 24 + 30 - 75 = -21$$

  Производная отрицательна, значит функция убывает на интервале $(-\infty, -4)$.

• Для интервала $(-4, 2)$: Возьмем точку $x = 0$. Подставляем в производную:

  $$f'(0) = 24 - 6(0) - 3(0)^2 = 24$$

  Производная положительна, значит функция возрастает на интервале $(-4, 2)$.

• Для интервала $(2, \infty)$: Возьмем точку $x = 3$. Подставляем в производную:

  $$f'(3) = 24 - 6(3) - 3(3)^2 = 24 - 18 - 27 = -21$$

  Производная отрицательна, значит функция убывает на интервале $(2, \infty)$.

4. Нахождение точек максимума и минимума. Теперь нам нужно понять, что происходит в точках $x = -4$ и $x = 2$:

• В точке $x = -4$, так как производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.
• В точке $x = 2$, так как производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Ответ:

• Промежутки возрастания: $(-4, 2)$