Пусть длина прыжка кузнечика равна 10032017. 1. Через сколько прыжков он впервые побывает в точке, в которой он уже был? 2. Через некоторое время он впервые побывает в точке, в которой он уже был. В скольких разных точках он до этого побывает? 3. Через некоторое время он впервые побывает в точке, в которой он уже был. Сколько полных оборотов он к этому моменту пройдёт?

Предположим, что длина прыжка равна $\frac{1003}{2017}$ длины окружности.

После $n$ прыжков кузнечик сместится на

длины окружности. Он попадёт в уже посещённую точку тогда и только тогда, когда это смещение отличается от предыдущего на целое число окружностей.

Найдём НОД чисел $1003$ и $2017$:

Значит,

Поэтому дробь $\frac{1003}{2017}$ несократима, и впервые целое число окружностей получится только после $2017$ прыжков:

1. Впервые кузнечик попадёт в уже посещённую точку через 2017 прыжков: он вернётся в исходную точку.

2. До этого момента он побывает в 2017 разных точках: начальная точка и точки после первых $2016$ прыжков. Ни одна из них не повторится.

3. К этому моменту он пройдёт ровно

полных оборота.