18.5. В урне лежат девять неразличимых на ощупь шаров: пять белых и четыре черных. Вынимают одновременно два шара. Если они разного цвета, то их откладывают в сторону, а если одного цвета, то возвращают в урну. Такую операцию повторяют два раза. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов. б) В скольких случаях в урне останется девять шаров? в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров? г) Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза.

Задача достаточно интересная и требует внимательности при учёте всех возможных вариантов. Давайте разберемся по пунктам:

Условия задачи

У нас есть 9 шаров: 5 белых и 4 черных. На каждом шаге мы вынимаем два шара:

• Если они одного цвета, то возвращаем их в урну.
• Если они разного цвета, то откладываем их в сторону.

Повторяем эту операцию дважды.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов (для двух шагов)

Для удобства, давайте обозначим белый шар как Б, а черный — как Ч. На первом шаге мы вынимаем два шара, и возможны следующие варианты:

1. Б и Б — два белых шара.
2. Ч и Ч — два черных шара.
3. Б и Ч — один белый и один черный шар.

Если мы вытянули два шара одного цвета (варианты 1 и 2), то их возвращаем обратно в урну. Если же вытащили шары разного цвета (вариант 3), то откладываем их в сторону.

Первый шаг:

• Вытянули два белых: остаются 3 белых и 4 черных шара.
• Вытянули два черных: остаются 5 белых и 2 черных шара.
• Вытянули один белый и один черный: остаются 4 белых и 3 черных шара.

После каждого первого шага снова вытягиваем два шара, и для каждого случая могут быть следующие варианты на втором шаге:

Второй шаг (для каждого случая на первом шаге):

1. Если после первого шага в урне 3 белых и 4 черных шара:
   • Вытянули два белых: 1 белый и 4 черных.
   • Вытянули два черных: 3 белых и 2 черных.
   • Вытянули один белый и один черный: 2 белых и 3 черных.
2. Если после первого шага в урне 5 белых и 2 черных шара:
   • Вытянули два белых: 3 белых и 2 черных.
   • Вытянули два черных: 5 белых и 0 черных.
   • Вытянули один белый и один черный: 4 белых и 1 черный.
3. Если после первого шага в урне 4 белых и 3 черных шара:
   • Вытянули два белых: 2 белых и 3 черных.
   • Вытянули два черных: 4 белых и 1 черный.
   • Вытянули один белый и один черный: 3 белых и 2 черных.

Таким образом, дерево возможных вариантов для двух шагов будет выглядеть как разветвленное дерево, где каждый узел представляет новый набор шаров в урне после каждого шага.

б) В скольких случаях в урне останется девять шаров?

Чтобы в урне осталась 9 шаров, необходимо, чтобы оба шара, которые вынимаются на каждом шаге, были одного цвета (потому что если они разного цвета, мы откладываем их в сторону, а значит, уменьшаем количество шаров в урне).

Таким образом, для каждого из двух шагов нам нужно, чтобы были вытянуты два одинаковых шара (или два белых, или два черных). Рассмотрим все возможные случаи:

• Первый шаг: вытягиваем два одинаковых шара.

  • Если два белых, в урне останется 3 белых и 4 черных шара.
  • Если два черных, в урне останется 5 белых и 2 черных шара.

• Второй шаг: также вытягиваем два одинаковых шара.

  • Если после первого шага 3 белых и 4 черных:
    • Вытягиваем два белых — в урне 1 белый и 4 черных.
    • Вытягиваем два черных — в урне 3 белых и 2 черных.
  • Если после первого шага 5 белых и 2 черных:
    • Вытягиваем два белых — в урне 3 белых и 2 черных.
    • Вытягиваем два черных — в урне 5 белых и 0 черных.

Таким образом, если оба шага включают только вытягивание одинаковых шаров, то в урне останется 9 шаров. Процесс из двух шагов в итоге дает 4 возможных случая, когда количество шаров в урне не изменится.

в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров?

Чтобы в урне оставалось не более 5 шаров, на одном из шагов необходимо вытянуть два шара разных цветов. Это приведет к уменьшению общего числа шаров. Рассмотрим такие случаи:

• Если на первом шаге вытягиваются два шара разного цвета (белый и черный), то мы откладываем их в сторону. После этого в урне остаются 4 белых и 3 черных шара, а количество шаров становится 7.

• Если на втором шаге также вытягиваются два шара разного цвета, то в урне остаются 5 шаров.

Если на первом шаге вытянули два одинаковых шара, а на втором шаге вытянули два шара разного цвета, то это также приведет к уменьшению числа шаров.

В общей сложности, все возможные варианты для двух шагов, где в урне останется не более пяти шаров, составляют 6 случаев.

г) Нарисуйте дерево возможных вариантов (если операция повторяется три раза)

Если операция повторяется три раза, то дерево вариантов будет выглядеть ещё более разветвленным.

Для каждого из трёх шагов нам нужно учитывать три возможных варианта на каждом шаге: два одинаковых шара (которые возвращаем в урну), либо два шара разного цвета (которые откладываем в сторону).

Первоначально в урне 5 белых и 4 черных шара. Для каждого шага (первого, второго и третьего) будут те же три варианта, как и для двух шагов, но с дополнительными ветвями, которые возникают после второго и третьего шага.

В итоге дерево для трёх шагов будет включать все возможные состояния урны после каждого вытягивания шаров. В зависимости от того, вытянули ли одинаковые или разные шары, количество шаров в урне будет меняться.