Cos2x+cos^2x+sinx cosx=0

Решим уравнение

[
\cos 2x+\cos^2x+\sin x\cos x=0.
]

Используем формулу

[
\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x.
]

Тогда:

[
\cos^2x-\sin^2x+\cos^2x+\sin x\cos x=0.
]

Рассмотрим отдельно случай (\cos x=0).

При (\cos x=0) имеем (x=\frac{\pi}{2}+\pi k). Тогда

[
\cos 2x=-1,
]

а остальные слагаемые равны нулю, поэтому левая часть равна (-1), а не нулю. Значит, (\cos x\ne0), и можно разделить уравнение на (\cos^2x):

[
\frac{\cos 2x}{\cos^2x}+1+\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}=0.
]

Так как

[
\frac{\cos 2x}{\cos^2x}
=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}
=1-\tan^2x,
]

получаем:

[
1-\tan^2x+1+\tan x=0.
]

[
2+\tan x-\tan^2x=0.
]

Перенесём всё в другую сторону:

[
\tan^2x-\tan x-2=0.
]

Разложим на множители:

[
(\tan x-2)(\tan x+1)=0.
]

Отсюда:

[
\tan x=2
]

или

[
\tan x=-1.
]

Следовательно,

[
\boxed{x=\arctan 2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z}
]

или

[
\boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z}.
]