Рассмотрим общий член суммы:

[
\frac{k}{(k+1)!}.
]

Так как (k=(k+1)-1), получаем:

\frac{(k+1)-1}{(k+1)!}

\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.
]

Тогда исходная сумма равна:

[
\left(\frac1{1!}-\frac1{2!}\right)
+\left(\frac1{2!}-\frac1{3!}\right)
+\left(\frac1{3!}-\frac1{4!}\right)
+\cdots+
\left(\frac1{2010!}-\frac1{2011!}\right).
]

Все промежуточные слагаемые сокращаются:

[
\frac1{2!},\frac1{3!},\ldots,\frac1{2010!}.
]

Остаётся:

[
\frac1{1!}-\frac1{2011!}=1-\frac1{2011!}.
]

Ответ:

[
\boxed{1-\frac1{2011!}}.
]