Докажите тождество: 1/x(x+4)+1/(x+4)(x+8)+1/(x+8)(x+12)+1/(x+12)(x+16)=4/x(x+16)

Ответы на вопрос

Отвечает Разон Влад.

Для доказательства тождества

\frac{1}{x(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+8)} + \frac{1}{(x+8)(x+12)} + \frac{1}{(x+12)(x+16)} = \frac{4}{x(x+16)},

начнем с приведения левой части к общему знаменателю. Мы видим, что в каждом из слагаемых в левой части присутствуют выражения, зависящие от $x$ и его соседей. Чтобы привести их к общему знаменателю, необходимо использовать все множители, которые встречаются в каждом знаменателе.

Шаг 1: Общий знаменатель

Общий знаменатель для всех четырех дробей будет произведением всех уникальных множителей:

x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16).

Теперь перепишем каждое из слагаемых так, чтобы знаменатель стал равным этому общему знаменателю.

Шаг 2: Приведение дробей

Первая дробь:

\frac{1}{x(x+4)} = \frac{(x+8)(x+12)(x+16)}{x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)}.

Вторая дробь:

\frac{1}{(x+4)(x+8)} = \frac{x(x+12)(x+16)}{x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)}.

Третья дробь:

\frac{1}{(x+8)(x+12)} = \frac{x(x+4)(x+16)}{x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)}.

Четвертая дробь:

\frac{1}{(x+12)(x+16)} = \frac{x(x+4)(x+8)}{x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)}.

Шаг 3: Сложение дробей

Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, можно сложить числители всех дробей:

\frac{(x+8)(x+12)(x+16) + x(x+12)(x+16) + x(x+4)(x+16) + x(x+4)(x+8)}{x(x+4)(x+8)(x+12)(x+16)}.

Чтобы упростить числитель, раскроем скобки и соберем все множители:

(x+8)(x+12)(x+16) + x(x+12)(x+16) + x(x+4)(x+16) + x(x+4)(x+8).

После раскрытия скобок и упрощения, получаем:

(x^3 + 36x^2 + 416x + 1536) + x(x^2 + 28x + 192) + x(x^2 + 20x + 64) + x(x^2 + 12x + 32).

Объединяем все термины:

x^3 + 36x^2 + 416x + 1536 + x^3 + 28x^2 + 192x + x^3 + 20x^2 + 64x + x^3 + 12x^2 + 32x.

Это упрощается до:

4x^3 + 96x^2 + 704x + 1536.

Теперь подставим это в числитель исходного выражения. Числитель в левой части будет равен:

4x^3 + 96x^2 + 704x + 1536.

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра