Число 16 разложите на два слагаемых так, чтобы значение суммы их квадратов было наибольшим. Дайте

Ответы на вопрос

Отвечает Жигмитов Баярто.

Пусть число 16 разложено на два слагаемых:

16 = a + b

Нужно найти такие $a$ и $b$ , при которых сумма их квадратов:

a^{2} + b^{2}

будет наибольшей.

Выразим одно слагаемое через другое:

b = 16 - a

Тогда сумма квадратов будет равна:

a^{2} + (16 - a)^{2}

Раскроем скобки:

a^{2} + 256 - 32 a + a^{2}

= 2 a^{2} - 32 a + 256

Это квадратная функция. Её можно преобразовать:

2 a^{2} - 32 a + 256 = 2 (a^{2} - 16 a) + 256

Добавим и вычтем 64:

= 2 ((a - 8)^{2} - 64) + 256

= 2 (a - 8)^{2} + 128

Из этого выражения видно, что сумма квадратов зависит от $(a - 8)^{2}$ . Чем дальше число $a$ от 8, тем больше будет значение суммы квадратов.

Если рассматривать разложение на неотрицательные целые слагаемые, самые дальние от равенства варианты — это:

16 = 0 + 16

Тогда:

0^{2} + 1 6^{2} = 256

Проверим, например, разложение на равные части:

8 + 8 = 16

8^{2} + 8^{2} = 64 + 64 = 128

Получается меньше.

Значит, наибольшая сумма квадратов получается, когда одно слагаемое максимально большое, а другое — минимальное:

16 = 0 + 16

При этом максимальное значение суммы квадратов равно:

0^{2} + 1 6^{2} = 256

Если же требовать, чтобы оба слагаемых были положительными, то самый крайний вариант:

16 = 1 + 15

и сумма квадратов будет:

1^{2} + 1 5^{2} = 1 + 225 = 226

Но при обычном условии задачи, где ноль допускается как слагаемое, ответ: 0 и 16.

Число 16 разложите на два слагаемых так, чтобы значение суммы их квадратов было наибольшим. Дайте развёрнутый ответ.