Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на удвоенное другое слагаемое было наибольшим

Рассмотрим задачу: нужно представить число $12$ в виде суммы двух неотрицательных слагаемых, обозначив их $x$ и $y$, так, чтобы произведение квадрата одного из них на удвоенное другое слагаемое было наибольшим.

Запишем задачу математически. Нам нужно:

1. Представить $12$ как сумму двух чисел $x$ и $y$, т.е., $x + y = 12$.
2. Найти такое разбиение, при котором выражение $f(x, y) = x^2 \cdot 2y$ максимально.

Для удобства выразим $y$ через $x$ из первого уравнения:

Теперь подставим это выражение для $y$ в формулу $f(x, y)$:

Раскроем скобки и упростим выражение:

Теперь нужно найти максимальное значение функции $f(x) = 24x^2 - 2x^3$ на интервале $0 \leq x \leq 12$. Для этого найдем производную $f'(x)$ и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки.

1. Найдём производную:

   $$f'(x) = 48x - 6x^2.$$

2. Приравняем производную к нулю:

   $$48x - 6x^2 = 0.$$

   Вынесем $6x$ за скобку:

   $$6x(8 - x) = 0.$$

3. Решим это уравнение:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 8.$$

Теперь подставим найденные значения $x = 0$ и $x = 8$, а также крайнее значение $x = 12$ в функцию $f(x)$, чтобы определить, при каком из них функция принимает наибольшее значение:

• Для $x = 0$:

  $$f(0) = 24 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^3 = 0.$$

• Для $x = 8$:

  $$f(8) = 24 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8^3 = 24 \cdot 64 - 2 \cdot 512 = 1536 - 1024 = 512.$$

• Для $x = 12$:

  $$f(12) = 24 \cdot 12^2 - 2 \cdot 12^3 = 24 \cdot 144 - 2 \cdot 1728 = 3456 - 3456 = 0.$$

Из полученных значений видно, что максимальное значение $f(x) = 512$ достигается при $x = 8$. Тогда $y = 12 - 8 = 4$.

Ответ: при разбиении числа $12$ на слагаемые $x = 8$ и $y = 4$ выражение $x^2 \cdot 2y$ принимает наибольшее значение, равное $512$.